Números… ¡perfectos!

Los matemáticos dicen que un número es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores, excluido él mismo. Por ejemplo, 6 es igual a 3 + 2 + 1 y 28 es igual a 14 + 7 + 4 + 2 + 1. Los antiguos descubrieron otros números perfectos: 496 y 8.128, y Euclides proporcionó una fórmula para calcular más. Como hay muy pocos se tardaron muchos años en conseguir los siguientes, que son 33.550.336, 8.589.869.056 y 137.438.691.328. El octavo tiene ya 19 cifras y el siguiente 37. Actualmente se conocen menos de 30 números perfectos y ninguno es impar, aunque nadie ha logrado demostrar que no pueda existir alguno.

Como decía Descartes: “Números perfectos como hombres perfectos son muy raros”.

Números… ¡amigos!

Calculando divisores, Pitágoras descubrió otra curiosidad: la suma de los divisores del número 220 es igual a 284 y la suma de los del 284 es igual a 220. Así que dijo que ambos números eran amigos. Hasta 1.636 no se descubrió otro para de números amigos: 17.296 y 18.416. Desde entonces se descubrieron muchos más con rapidez y en el siglo XVIII ya se conocían 64 parejas. Lo curioso es que hasta 1.867 no se descubrió que 1.184 y 1.210 eran amigos. Aunque era la segunda pareja más baja, os matemáticos no la habían descubierto y fue un estudiante italiano de 16 años el que lo hizo, Nicolò I. Paganini (no confundir con el gran violinista italiano del s. XIX). En la actualidad se conocen más de mil parejas de números amigos. Queda claro que, por definición, ningún número amigo puede ser perfecto. O, dicho de otro modo, los perfectos sólo son amigos de sí mismos, que triste no tener amigos, ¿no crees?

¡Menudo primo!

Los ordenadores han permitido a los matemáticos calcular números gigantescos, que con medios tradicionales no habríamos conseguido. Gracias a ellos, en 2.018 se descubrió el mayor número primo conocido hasta ahora y que tiene casi 25 millones de dígitos. Es difícil, incluso para un matemático, imaginarse realmente un número semejante. Piensa, por ejemplo, que si lo escribiésemos en hojas A4 necesitaríamos, aproximadamente, 5.000 páginas completamente llenas de cifras para reproducirlo entero. Pero, aunque éste sea el mayor primo conocido, no es el primo más primo, honor que le corresponde al 7.393.913, ya que toda su “familia” (los números que se obtienen quitando la última cifra) está hecha de primos: el 739.391, el 73.939, el 7.393, el 739, el 73 y el 7.

La potencia de las bacterias

Los seres vivos con mayor capacidad de reproducción son las bacterias. Si cuentan con suficiente alimento, cada una puede crecer y dividirse en dos bacterias iguales en tan solo veinte minutos de media.

Cada una de las células hijas es igualmente capaz de volver a dividirse veinte minutos después, y así sucesivamente. A este ritmo, la descendencia de una sola bacteria puede superar ampliamente a la población humana actual, estimada en casi unos 8.000 millones de personas, en tan solo 11 horas.

Para calcularlo, basta con elevar 2 (el número de bacterias resultantes en cada división) a 33 (el número de divisiones que se producirían en ese tiempo). Afortunadamente, para dar de comer a tantas “hijas” hace falta un suministro de nutrientes muy elevado, así que la población bacteriana tiende a estabilizarse antes de alcanzar esa cifra.

¿Para qué sirve un gúgol?

¿Cuál es el número más grande que conoces?

Quizá sepas ya lo que es un billón, aunque pocas veces habrás tenido que usarlo. En forma de potencia de base 10 es igual a \(10^{12}\). Si lo escribes en forma decimal, verás que es un 1 seguido de doce ceros: un millón de millones. Si lo multiplicas otra vez por un millón, tendrás un trillón, es decir, un 1 seguido de 18 ceros, y si sigues multiplicando cada vez por un millón, tendrás un cuatrillón, un quintillón, un sextillón, un septillón, un octillón y un nonillón. Que es un uno seguido por… ¡54 ceros! No hay manera de imaginar esta cifra, pero hay nombres para números aún más grandes. Hace pocos años, el matemático Kasner ideó un número para expresar un 1 seguido de 100 ceros (\(10^{100}\)): gúgol. El nombre lo puso su sobrino, que tenía 9 años. A pesar de que es mayor que el número de átomos del universo, algunos matemáticos lo utilizan para hacer cálculos muy grandes.

Doce años para leer tres cifras

Aún mayor que el gúgol es un número cuya representación resulta aparentemente sencilla: \(^{9^{9^9}}\) (nueve elevado a nueve elevado a nueve). La cosa se complica cuando comprobamos que equivale a \(9^{387.420.489}\) . Si resolviésemos la operación, el número que obtendríamos constaría de 370 millones de cifras. Solo para leerlo, al ritmo de una cifra por segundo sin interrupción, tardaríamos doce años enteros. Parece mentira que semejante inmensidad pueda representarse con tan solo tres cifras.