Un radical és l'arrel indicada d'un nombre real.

Definim l'arrel \(\mathbf{n}\)-ésima o arrel d'ordre \(\mathbf{n}\) d'un número com: 

\(\sqrt[n]{a}=b \leftrightarrow b^{n}=a\)

 

El nombre d'arrels depén del signe del radicand i de si l'índex és parell o imparell.

Un radical pot expressar-se com una potència d'exponent fraccionari:

 \(\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m / n}, \quad m \neq 0, n \neq 0\)

 

D'aquesta manera, els radicals verifiquen les propietats de les potències operant amb els exponents fraccionaris.

• Extracció de factors d'un radical: Per a simplificar un radical, factoritzem el radicand i extraiem tots els factors possibles, fent coincidir l'exponent amb l'índex.

EXEMPLE:  \(\sqrt[3]{a^{5} \cdot b^{2}}=\sqrt[3]{a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2}}=a \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot b^{2}}\)

• Introducció de factors en un radical: Per a introduir factors en un radical, hem d'expressar aquest factor com a radical, coincidint amb el que tenim.

EXEMPLE:. \(\quad a^{2} \cdot \sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{\left(a^{2}\right)^{5}} \cdot \sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a^{10} \cdot a}=\sqrt[5]{a^{11}}\)

• Extracció de factors d'un radical: Per a simplificar un radical, factoritzem el radicand i extraiem tots els factors possibles, fent coincidir l'exponent amb l'índex.

EXEMPLE:. \(\sqrt[3]{a^{5} \cdot b^{2}}=\sqrt[3]{a^{3} \cdot a^{2} \cdot b^{2}}=a \cdot \sqrt[3]{a^{2} \cdot b^{2}}\)

• Introducció de factors en un radical: Per a introduir factors en un radical, hem d'expressar aquest factor com a radical, coincidint amb el que tenim.

EXEMPLE:. \(\quad a^{2} \cdot \sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{\left(a^{2}\right)^{5}} \cdot \sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a^{10} \cdot a}=\sqrt[5]{a^{11}}\)

• Producte i quocient de radicals: Per a multiplicar i dividir radicals, és necessari que tinguen el mateix índex.

EXEMPLE: 

\(\begin{gathered}\frac{\sqrt[3]{a^{2} \cdot b} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt[4]{a \cdot b}}=\frac{\sqrt[6]{\left(a^{2} \cdot b\right)^{2}} \cdot \sqrt[6]{a^{6}}}{\sqrt[4]{a \cdot b}}=\frac{\sqrt[6]{a^{4} \cdot b^{2} \cdot a^{6}}}{\sqrt[4]{a \cdot b}}=\frac{\sqrt[6]{a^{10} \cdot b^{2}}}{\sqrt[4]{a \cdot b}}=\frac{\sqrt[12]{\left(a^{10} \cdot b^{2}\right)^{2}}}{\sqrt[12]{(a \cdot b)^{3}}}=\frac{\sqrt[12]{a^{20} \cdot b^{4}}}{\sqrt[12]{a^{3} \cdot b^{3}}} \\=\sqrt[12]{\frac{a^{20} \cdot b^{4}}{a^{3} \cdot b^{3}}}=\sqrt[12]{a^{17} \cdot b}=a \cdot \sqrt[12]{a^{5} \cdot b}\end{gathered}\)

• Suma i resta de radicals: Per a sumar i restar radicals, aquests han de ser semblants, és a dir, amb el mateix índex i radicand. En cas de ser radicals no semblants, el resultat es deixa indicat.

EXEMPLE:

\(7 \sqrt[3]{5}+2 \sqrt[3]{5}=9 \sqrt[3]{5}\)

\(2 \sqrt{3}-5 \sqrt{6}+\sqrt{3}=3 \sqrt{3}-5 \sqrt{6}\)