Donats dos nombres reals positius \(a\) i \(b(b \neq 1)\), es defineix el logaritme en base \(b\) de \(a\) com l'exponent al qual cal elevar \(b\) perquè el resultat siga \(a\). És a dir:

 \(\log _{b} a=c \leftrightarrow b^{c}=a\)

EXEMPLE:.  \(\quad \log _{2} 8=3 \leftrightarrow 2^{3}=8\)

Quan la base del logaritme \(b=10\), li diem logaritme decimal i, no s'escriu la base.

 \(\log _{10} a=\log a\)

EXEMPLE:   

\(\log 100=2\) perquè \(10^{2}=100\) 

\(\log 0,001=-3\) perquè \(10^{-3}=0,001\)

Quan la base del logaritme \(b=e=2,7182 \ldots .\), li diem logaritme neperià i , s'escriu :

 \(\log _{e} a=\ln a\) 

EXEMPLE:

\(\ln e^{4}=x \leftrightarrow e^{x}=e^{4} \rightarrow x=4 \quad \rightarrow \ln e^{4}=4\)

Per a calcular logaritmes, n'hi ha prou amb aplicar la definició i aplicar les propietats de les potències.

EXEMPLE: \(\log _{3} 81=x \leftrightarrow 3^{x}=81 \rightarrow 3^{x}=81=3^{4} \rightarrow x=4\)

Per tant, \(\log _{3} 81=4\)